Shadow Map — Wu Chenfeng

一块表面是否受光，取决于光源与它之间有没有遮挡。Shadow Map 把这个问题转成两份深度的比较：先从光源看场景，记录最近表面，再检查当前接收点是否位于它后面。比较得到可见性，材质与光源随后决定这部分光有多亮。

Shadow Map 流程

生成

从光源视角渲染场景，把最近深度写入 Shadow Map。方向光使用正交投影，Spot Light 常使用透视投影，Point Light 可以使用 Cubemap 或其他多面投影。

查询

把当前表面点变换到 Light Clip/Shadow Texture Space，得到：

Shadow UV；
当前接收点深度 $z_r$ 。

读取 Shadow Map 的遮挡深度 $z_s$ 。在近处深度较小的常规 Z 约定下，如果 $z_r$ 明显大于 $z_s$ ，说明光源和接收点之间有更近表面，当前点在阴影中。

过滤离散可见性

深度比较与过滤顺序

假设一个采样落在遮挡物边缘，两侧深度分别属于近处遮挡物和远处背景。直接插值得到的是一个现实中不存在的中间深度。拿它与接收深度比较，会产生错误可见性。

PCF 的做法是：

对邻域每个深度分别做比较；
得到 0/1 或比较结果；
过滤这些可见性结果。

V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}[z_r-bias\le z_i]

硬件 Comparison Sampler 可以对相邻 Texel 的比较结果做过滤，而不是先过滤原始深度。

PCF 的含义

Percentage-Closer Filtering 产生的是过滤后的可见比例。固定采样半径会得到近似固定宽度的柔边，但它主要是在抑制 Shadow Map 的离散锯齿，不是真正根据面积光源几何得到半影。

采样核越大：

边缘越软；
采样成本越高；
阴影细节更容易丢失；
Bias 和漏光问题更明显。

Poisson Disk、旋转采样核和时域抖动可以减少规则图案，但会引入噪声或时间稳定性问题。

硬件比较采样器可以把深度比较和过滤组合起来。下面的 HLSL 代码执行一个 3x3 PCF 核，shadowCoord.xy 已在 $[0,1]$ ，shadowCoord.z 与 Shadow Map 使用同一深度约定：

hlsl

float SampleShadowPCF(float3 shadowCoord, float bias)
{
    uint width, height;
    ShadowMap.GetDimensions(width, height);
    float2 texel = 1.0 / float2(width, height);
    float visibility = 0.0;

    for (int y = -1; y <= 1; ++y)
        for (int x = -1; x <= 1; ++x)
            visibility += ShadowMap.SampleCmpLevelZero(
                ShadowSampler,
                shadowCoord.xy + float2(x, y) * texel,
                shadowCoord.z - bias);

    return visibility / 9.0;
}

本段为HLSL机制函数，资源声明为 Texture2D<float> ShadowMap 与 SamplerComparisonState ShadowSampler。约定常规Z、清除深度1、比较 LESS_EQUAL，正bias从接收深度减去；反向Z需同步改变比较方向与偏置符号。线性比较采样的一次查询可比较相邻4个纹素，因此这里是9次查询，覆盖足迹会重叠，并非简单的9个独立点深度。光锥外、UV外和级联外的回退由调用端处理；边框颜色也要与受光约定一致。

PCSS

Percentage-Closer Soft Shadows 用三个步骤近似面积光半影。

1. Blocker Search

在接收点投影附近搜索深度小于 $z_r$ 的样本。它们是可能挡住光源的 Blocker。

计算平均 Blocker 深度 $z_b$ 。没有找到 Blocker 时，接收点通常视为完全受光。

2. 估计 Penumbra

平行平面近似下，半影大小取决于接收点与遮挡物的间距：

w_p\propto w_l\frac{z_r-z_b}{z_b}

$w_l$ 是光源尺寸。接收面离 Blocker 越远，半影越宽。

具体公式需要根据光源投影和深度空间转换。不能直接把非线性 Shadow Depth 塞进比例式。

相似三角形推导。

它来自相似三角形，理解推导才能判断它何时失效。

把光源看作一个宽度为 $w_l$ 的面光源，遮挡物是一块平行于光源的不透明平板，接收面也与之平行。沿光源两端各引一条经过遮挡物边缘的直线，它们在接收面上圈出的区域就是半影。

设光源到遮挡物的距离为 $d_b$ 、光源到接收面的距离为 $d_r$ ，由相似三角形：

\frac{w_p}{w_l}=\frac{d_r-d_b}{d_b}

即：

w_p=w_l\cdot\frac{d_r-d_b}{d_b}

如果 $z_r$ 、 $z_b$ 已还原成同一光源空间中的正线性距离，便得到前面的形式。方向光的角半径模型还需要单独推导，不能直接套用有限距离面光源的分母。分母是光源到遮挡物的距离，不是遮挡物到接收面的距离——这是容易记反的地方。

两个直接推论：遮挡物贴近接收面时 $d_r\approx d_b$ ，半影趋近于零，这就是接触硬化；遮挡物贴近光源时 $d_b$ 很小，半影急剧放大。

适用前提。

推导用到了三个假设，实际场景中都可能不成立：

平行平面。遮挡物与接收面都被当作平行于光源的平面。倾斜的接收面上，半影宽度沿表面变化，单一半径无法准确表达。

单一遮挡深度。Blocker Search 得到的是平均深度。当一个像素同时被远近两个物体遮挡时，平均值可能落在两者之间，对应的半影对谁都不正确。

深度线性可比。比例式中的 $z$ 必须是线性距离。Shadow Map 存的通常是非线性深度，反向 Z 下方向还相反。必须先转换到线性空间，否则半影宽度会出现随距离系统性偏大或偏小的错误。

采样半径换算。

$w_p$ 是世界空间的宽度，PCF 需要的是 Shadow Map 上的 UV 半径。转换依赖光源的投影方式：

正交投影（方向光）下，整张 Shadow Map 覆盖固定的世界范围 $W$ ，转换是常数比例：

r_{uv}=\frac{w_p}{2W}

这里的 $w_l,w_p$ 都是完整宽度，采样半径取半宽；若实现把 lightSize 定义为半径，则必须整套改用半径约定。有限距离的透视光源在接收深度 $d_r$ 处横向覆盖宽度为 $W(d_r)=2d_r\tan(\theta_x/2)$ ，所以 $r_{uv}=w_p/[4d_r\tan(\theta_x/2)]$ 。方向光应先由角半径与遮挡间距估计世界半影，再使用正交覆盖换算。

级联阴影中每一级的 $W$ 不同，同一个 $w_p$ 在各级对应的 UV 半径也不同。这是级联过渡处软硬程度突变的常见原因——必须逐级换算，不能全局共用一个系数。

采样半径还需要设上限。半径过大时，固定的采样数会导致采样点过于稀疏，产生条带状噪声；此时应当同步增加采样数，或接受半影宽度被截断。

3. Variable-radius PCF

把估算半影转换为 Shadow Map UV 中的过滤半径，再执行 PCF。

PCSS 是 Contact-hardening Shadow 的近似。它仍会受到 Blocker Search 样本数、深度不连续、接收面角度和复杂遮挡关系影响。

Shadow Acne

由于深度精度、采样和表面斜率，接收面可能错误地与自己的 Shadow Depth 比较失败，出现条纹。

常见 Bias：

Constant Depth Bias；
Slope-scaled Bias；
Normal Bias；
Receiver Plane Depth Bias。

Bias 太小会 Acne，太大会 Peter Panning，让阴影与物体脚底分离。Normal Bias 还可能让薄物体漏光或改变阴影形状。

偏置改变的输入

普通Z下，真实接收深度0.5002与贴图0.5000比较会被判阴影；接收端减0.0003后成为0.4999，比较通过。若这份0.0002差值来自同一斜面的采样误差，偏置修复自阴影；若它来自真正贴近表面的遮挡物，相同偏置又会抹去接触阴影。

常量偏置给全部深度相同数值变化，投影深度的非线性使其世界距离效果随位置变化。斜率偏置根据深度相对屏幕的变化量增大偏移，照顾斜面跨纹素的误差。Normal Bias先沿法线移动世界接收点或投射几何，再投影；它也会移动UV，所以薄片轮廓和阴影形状可能改变。Receiver Plane方法利用接收面深度梯度，为每个PCF邻居估计该平面应有的深度，再比较残差，避免仅用中心深度解释整个核。实际API的深度偏置量化和符号需按后端核对。

阴影资源与投影方案

CSM

级联阴影贴图（Cascaded Shadow Maps，CSM）为方向光准备多张不同覆盖范围的 Shadow Map。近处 Cascade 覆盖小、世界空间 Texel 密度高；远处 Cascade 覆盖大，用较低精度维持可见距离。

单张方向光 Shadow Map 必须同时容纳相机附近和远处视锥。透视相机中，近处物体占屏幕面积大，却只得到和远处相同的光空间 Texel 密度，因此近景最容易出现锯齿和游动。

1. 分割相机视锥

设相机近远平面为 $n,f$ ，Cascade 数量为 $m$ ，第 $i$ 个分割位置可以使用均匀分割：

d_i^{uniform}=n+(f-n)\frac{i}{m}

对数分割会把更多范围留给近处：

d_i^{log}=n\left(\frac{f}{n}\right)^{i/m}

实际常用 Practical Split 在两者之间插值：

d_i=(1-\lambda)d_i^{uniform}+\lambda d_i^{log}

$\lambda$ 越大，近处 Cascade 越密。分割距离通常按正的观察空间深度保存。右手观察空间常用 $d=-z_{view}$ ，不能直接拿非线性的 Depth Buffer 值比较。

2. 计算每层光空间矩阵

每个 $[d_i,d_{i+1}]$ 都形成一个截断视锥。计算步骤是：

用该层的近远距离建立相机投影矩阵。
反投影 NDC 的八个角点到世界空间。
计算角点中心，建立方向光 View Matrix。
把八个角点变换到光空间。
对光空间角点求包围范围，建立正交投影。
沿光照 Z 方向扩展范围，容纳可能投影进层内的 Caster。

NDC 深度范围取决于 API。OpenGL 默认使用 $[-1,1]$ ，Direct3D 和常见 Vulkan 配置使用 $[0,1]$ 。反投影时必须与实际投影矩阵约定一致。

下面的伪代码表达矩阵构造的数据流：

cpp

Matrix BuildCascadeMatrix(float splitNear, float splitFar)
{
    Matrix sliceProj = Perspective(fov, aspect, splitNear, splitFar);
    Vector4 corners[8] = InverseProjectNdcCorners(sliceProj * view);

    Vector3 center = Average(corners);
    Matrix lightView = LookAt(center - lightDir * casterRange,
                              center, stableUp);
    Bounds bounds = FitLightSpaceBounds(corners, lightView);
    bounds.ExpandDepth(casterRange);

    Matrix lightProj = Orthographic(bounds.min, bounds.max);
    return lightProj * lightView;
}

casterRange 不能只按接收者视锥取值。视锥外的树或建筑仍可能把阴影投进视锥，过小会丢失阴影，过大则浪费深度精度。

3. 保存每层深度

各层可以使用独立纹理，也可以使用同尺寸、格式和 Mip 规则一致的 Texture Array。Array Layer 让 Shader 通过层索引采样，资源绑定更集中。

深度生成可以逐层提交 Draw，也可以使用 Layered Rendering。LearnOpenGL 的 CSM 示例用 Geometry Shader 的 gl_Layer 把图元写入不同 Array Layer。现代引擎也会通过多视图、实例化或逐层 Pass 完成，具体方式取决于 API、硬件和场景提交成本。

光空间矩阵数组适合放在 UBO 或 Constant Buffer。CPU 结构、Shader 布局和矩阵主次序必须一致。

4. 选择 Cascade

像素先计算正的观察空间深度，再找到包含它的分层区间。随后使用对应光空间矩阵和 Texture Array Layer：

glsl

int SelectCascade(vec3 positionWS)
{
    float viewDepth = -(view * vec4(positionWS, 1.0)).z;
    int layer = cascadeCount - 1;

    for (int i = 0; i < cascadeCount - 1; ++i) {
        if (viewDepth < cascadeSplits[i]) {
            layer = i;
            break;
        }
    }
    return layer;
}

这段代码假定右手观察空间中相机前方 Z 为负。引擎使用其他约定时，viewDepth 的符号需要同步调整。

5. 处理边界过渡

相邻 Cascade 的投影、Bias 和过滤结果不同。硬切换会在分割平面出现明显跳线。常见做法是在边界附近定义一段重叠区，同时采样相邻两层：

V=lerp(V_i,V_{i+1},t)

$t$ 由观察空间深度在过渡区中的位置得到。构建两层矩阵前，需要把各自的接收视锥扩展到整个混合带，并重新确定投射物覆盖与过滤边界；只有两份深度图都包含该接收区域，双层查询才有效。过渡越宽，双层采样区域越大；过窄则难以隐藏差异。两层的世界空间过滤半径也应接近，否则混合仍会看到软硬变化。

6. Bias 和过滤尺度

同样的 Shadow UV 偏移在不同 Cascade 中代表不同世界距离。每层需要按正交投影范围和纹理分辨率计算世界空间 Texel 尺寸，再据此调整：

Constant/Slope Bias；
Normal Bias；
PCF 或 PCSS 采样半径；
Cascade 过渡区宽度。

直接复用同一数值会让近层 Peter Panning，或让远层 Acne 和锯齿加重。

7. 稳定化和 Texel Snapping

紧致包围盒会随着相机旋转和移动持续改变，导致世界点映射到不同 Shadow Texel，画面出现阴影游动。稳定化通常包含：

使用包围球或固定尺度确定 Cascade 的 XY 范围；
把光空间投影中心吸附到 Shadow Texel 网格；
固定方向光基底，避免 Up Vector 在临界方向翻转；
对分割距离和投影范围保持确定性。

若正交投影宽度为 $w$ 、阴影分辨率为 $R$ ，一个 Texel 对应的光空间长度是：

s_{texel}=\frac{w}{R}

应先在固定方向光基底下表达世界坐标，再将XY投影中心除以 $s_{texel}$ 、取整后乘回去。若先让光源View跟随中心平移、再对已经接近零的局部中心取整，就失去了固定的吸附基准。吸附还可能把覆盖范围推移半个纹素，包围范围应留出相应余量。包围球通常更稳定，紧致 AABB 的分辨率利用率更高。工程实现需要在稳定性和有效分辨率之间取舍。

8. 成本

CSM 的主要成本来自：

每个 Cascade 重复生成方向光深度；
Caster 剔除、命令生成和状态提交；
多层深度纹理的显存和带宽；
边界混合的额外采样；
PCF/PCSS 的采样核。

Cascade 数量、分辨率和更新频率应按平台与画面需求设置。远层可以降低更新频率或渐隐到烘焙阴影、距离场阴影等结果。

9. 调试

用不同纯色显示 Cascade Index，检查层选择和过渡。
单独显示 Texture Array 每一层的深度。
绘制每层世界空间视锥和方向光正交包围盒。
缓慢平移和旋转相机，观察边缘是否按整 Texel 移动。
在边界放置斜面、细杆和远处高 Caster，检查 Bias、漏投影和跳变。
记录每层 Draw、Caster 数量、分辨率和更新时间。

平面投影阴影

Shadow Map 能处理多种接收面和自阴影，但也要生成并查询深度资源。地面平整、阴影质量要求不高的场景中，平面投影阴影（Planar Projected Shadows）可以减少深度资源生成与查询，代价转为投影几何的额外绘制和覆盖率。

思路是：忽略自阴影，只求物体每个顶点沿光方向在地面上的投影位置，把网格压扁到平面上再用深色绘制一遍。

设指向光源的单位向量为 $\mathbf{L}$ ，投影沿 $-\mathbf L$ ，顶点位置为 $\mathbf{M}$ ，地面高度为 $h$ 。沿光线走到 $y=h$ 需要的参数是：

t=\frac{M_y-h}{L_y}

代入得到投影点：

P_x=M_x-tL_x,\qquad P_z=M_z-tL_z,\qquad P_y=h

这就是相似三角形的直接结果，也可以写成一个 $4\times4$ 投影矩阵在顶点着色器中统一应用。

它需要额外绘制投影几何，省去阴影深度图和相应查询。投影面与地面重合时仍需处理深度冲突，例如采用受控的几何偏移或深度偏置；实际成本由几何数量、覆盖率和模板操作决定。限制同样明确：只能投到一个平面上，地面起伏或有台阶时会穿帮；没有自阴影；多个投影重叠处颜色会叠加加深，需要用模板缓冲限制每像素只写一次。

$L_y$ 接近零时 $t$ 趋于无穷；还需拒绝 $t<0$ 的反向投影。偏置、接收平面范围和模板位由宿主提供，额外绘制的实际成本仍取决于网格复杂度和覆盖面积。

方差阴影与虚拟阴影

方差阴影贴图（Variance Shadow Map，VSM）保存深度的一阶、二阶矩，用切比雪夫不等式估计受光概率。过滤后得到 $\mu=E[z]$ 与 $m_2=E[z^2]$ ，取 $\sigma^2=\max(m_2-\mu^2,\epsilon)$ 。当 $z_r\le\mu$ 时返回1，否则受光比例的上界为 $\sigma^2/[\sigma^2+(z_r-\mu)^2]$ 。这个上界可以超过真实可见比例，所以即使计算无误也可能漏光；压缩权重会减轻漏光，同时引入偏暗误差。矩数据可以线性过滤和预过滤，适合较软阴影，但数值精度仍需控制。EVSM 等变体通过指数变换增强分离度，同时更依赖精度和参数控制。

虚拟阴影贴图（Virtual Shadow Map，也简称 VSM）把高分辨率阴影空间切成 Page，只分配和更新当前视图需要的区域。它依赖虚拟地址映射、Page Cache、接收者驱动请求和失效规则，目标是让大世界和高密度几何保持细致阴影。

两个 VSM 指代完全不同：Variance 是基于深度矩的可过滤表示，Virtual 是稀疏分页与缓存方案。阅读资料或抓帧时要先确认上下文。

Point Light Shadow

点光源向所有方向发光，不能用单个透视投影覆盖。常见方案是以光源为中心建立六个 90 度视锥，把径向距离写入深度 Cubemap。

每个面使用相同近远平面，View Matrix 分别朝向正负 X、Y、Z。各面的上方向需符合所用 Cubemap 的面朝向约定，不能把同一个上方向原样用于所有面；尤其正负 Y 面必须选取与视线不平行的上方向。六面可以逐次渲染，也可以使用 Layered Rendering 写入 Cubemap Layer。

查询时用从光源到接收点的向量同时完成方向寻址和距离比较：

glsl

float PointShadow(vec3 positionWS)
{
    vec3 lightToPoint = positionWS - lightPositionWS;
    float receiverDistance = length(lightToPoint);
    float blockerDistance = textureLod(pointShadowMap, lightToPoint, 0.0).r
                          * shadowFar;
    return receiverDistance - shadowBias > blockerDistance
         ? 1.0 : 0.0;
}

这段GLSL函数返回遮挡比例，1表示阴影，与前面PCF返回受光比例的含义相反。宿主提供 samplerCube pointShadowMap，采用点过滤和固定第0级；源深度线性过滤会重现PCF一节指出的错误。写入端把线性径向距离除以 shadowFar，读取后乘回同一值。光源位置的零方向、超出有效距离及近裁剪范围由调用端处理。若资源保存投影深度，必须先按投影公式还原，不能直接与欧氏距离比较。

软化点光阴影时，可以在 lightToPoint 周围按一组球面方向偏移采样。采样半径应转换到世界空间或随接收距离调整。直接使用固定方向偏移会让近远处软化尺度不一致。

主要工程问题包括：

六个面带来的 Caster 绘制、剔除和带宽；
面边界的过滤接缝；
近距离 Bias 和远距离精度；
动态物体引起的缓存失效；
大采样核的 Cubemap 纹理成本。

项目通常限制阴影点光数量、影响半径、分辨率和更新频率。静止灯光可以缓存静态 Caster，再单独更新动态层。Dual Paraboloid 等两面方案减少面数，同时带来投影畸变和接缝。

常见伪影定位

现象	优先检查
表面条纹	Depth/Slope Bias、精度、法线
阴影悬空	Bias 过大、Normal Bias
边缘锯齿	分辨率、投影覆盖、PCF、Cascade
相机移动抖动	Cascade Stabilization、Texel Snapping
薄墙漏光	Shadow Caster 面、Bias、厚度
PCSS 大块噪声	Blocker Search、采样序列、深度转换

验证方法

直接显示 Shadow Map 和接收点 Shadow UV。
分别显示 $z_r$ 、 $z_s$ 、比较结果和最终过滤值。
PCSS 单独显示 Blocker Count、Average Blocker Depth 和 Filter Radius。
用平面、方块和可调面积光建立最小测试场景。
在斜面、薄片、远距离和 Cascade 边界做压力测试。

test_gi.py 检查半影完整宽度到采样半径的换算，并用二点深度分布展示方差上界的漏光。正文 PCF 完成 DXC 编译，级联选择与点光查询函数经 glslangValidator 补齐宿主声明后完成 GLSL 330 编译，入口见 compile_gi.py；级联矩阵宿主、实际深度生成与GPU图像尚未运行。

参考资料

Randima Fernando, Percentage-Closer Soft Shadows.
NVIDIA, Integrating Realistic Soft Shadows into Your Game Engine.
Microsoft Learn：Cascaded Shadow Maps，分层覆盖、固定尺度与纹素吸附。
GPU Gems 3 第8章：Summed-Area Variance Shadow Maps，§8.4方差上界与§8.6 PCSS。
LearnOpenGL, src/8.guest/2021/2.csm.
LearnOpenGL, src/5.advanced_lighting/3.2.1.point_shadows and 3.2.2.point_shadows_soft.

Shadow Map 流程

生成

查询

过滤离散可见性

深度比较与过滤顺序

PCF 的含义

PCSS

1. Blocker Search

2. 估计 Penumbra

3. Variable-radius PCF

Shadow Acne

偏置改变的输入

阴影资源与投影方案

CSM

1. 分割相机视锥

2. 计算每层光空间矩阵

3. 保存每层深度

4. 选择 Cascade

5. 处理边界过渡

6. Bias 和过滤尺度

7. 稳定化和 Texel Snapping

8. 成本

9. 调试

平面投影阴影

方差阴影与虚拟阴影

Point Light Shadow

常见伪影定位

验证方法

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