BRDF与微表面模型

一个粗糙度参数改变了高光宽度，也可能改变总反射能量。要解释这个结果，先看入射光、表面分布、Fresnel与几何遮蔽怎样组成BRDF。模型各项单独可视化以后，才能判断异常来自参数映射、能量分配还是光源单位。

反射积分

辐射量与单位

Radiant Flux：单位时间传输的总辐射能量，单位 W。
Irradiance：单位面积接收到的通量，单位 W/m²；它已经对入射方向积分。
Radiance：沿某方向、单位投影面积、单位立体角传输的通量，单位 W/(m²·sr)。渲染方程主要用它。

在工程中经常统称“光强”或“亮度”，但推导和单位换算时不能混用。

Rendering Equation

表面点沿方向 $\omega_o$ 的出射 Radiance：

L_o(x,\omega_o)=L_e(x,\omega_o)+ \int_{\Omega}f_r(x,\omega_i,\omega_o) L_i(x,\omega_i)(\mathbf n\cdot\omega_i)\,d\omega_i

$L_e$ ：自发光；
$L_i$ ：入射 Radiance；
$f_r$ ：BRDF；
$\mathbf n\cdot\omega_i$ ：入射方向对表面投影面积的影响；
$\Omega$ ：表面法线上方半球。

实时渲染很少直接求完整积分。点光源、方向光等离散光源把部分积分变成少量求和；IBL、Lightmap、Probe 和光追则用不同方式近似剩余部分。

表面反射模型

Lambert Diffuse

理想漫反射向所有出射方向分布相同。BRDF 为：

f_d=\frac{\rho}{\pi}

$\rho$ 是表面反照率。 $1/\pi$ 用来满足能量守恒：对半球积分后，总反射能量不会超过入射能量。

实时 Shader 中常看到 albedo * saturate(dot(N,L))，省略的 $1/\pi$ 可能被光源单位、引擎约定或美术标定吸收。不能看到代码少了 $1/\pi$ 就直接判断错误，要先确认整套光照单位。

Phong 和 Blinn-Phong

Phong 使用反射方向 $\mathbf R$ 与视线 $\mathbf V$ ：

I_s\propto\max(0,\mathbf R\cdot\mathbf V)^p

Blinn-Phong 使用半角向量：

\mathbf H=\frac{\mathbf L+\mathbf V}{\lVert\mathbf L+\mathbf V\rVert}, \qquad I_s\propto\max(0,\mathbf N\cdot\mathbf H)^p

指数 $p$ 越大，高光越集中。它们便宜直观，但参数不直接对应稳定的物理材质，能量也需要额外归一化。

物理约束

BRDF 的约束

一个物理上合理的 BRDF 通常关心：

非负

反射不能凭空产生负能量。

能量守恒

所有方向反射出去的能量不能超过收到的能量。

Helmholtz Reciprocity

交换入射和出射方向，BRDF 应保持一致：

f_r(\omega_i,\omega_o)=f_r(\omega_o,\omega_i)

这是很多常规反射模型的约束，但带有特殊传输、非互易介质或某些艺术模型时需要重新确认。

微表面分解

微表面模型

微表面模型把粗糙表面看成许多微小镜面。宏观高光由三部分组成：

f_s=\frac{D(\mathbf H)F(\mathbf V,\mathbf H)G(\mathbf L,\mathbf V)} {4(\mathbf N\cdot\mathbf L)(\mathbf N\cdot\mathbf V)}

D：Normal Distribution Function

$D(\mathbf H)$ 描述半角方向附近的微表面面积密度。它满足 $\int D(\mathbf H)(\mathbf N\cdot\mathbf H)d\omega_H=1$ ，因此可用于采样的密度是 $D\,N\cdot H$ ；单独的 $D$ 不是归一化概率密度。

各向同性 GGX 使用

D(\mu,\alpha)=\frac{\alpha^2}{\pi[\mu^2(\alpha^2-1)+1]^2},\qquad \mu=\mathbf N\cdot\mathbf H.

实时 PBR 常用 GGX/Trowbridge-Reitz，因为它的长尾高光比较符合真实粗糙表面。

Roughness 改变分布宽度。Roughness 越低，分布越集中，高光更尖。

F：Fresnel

描述光到达微表面后有多少被反射。Schlick 近似：

F=F_0+(1-F_0)(1-\mathbf V\cdot\mathbf H)^5

$F_0$ 是正视角反射率。掠射角通常趋近更强反射。

G：Geometry Term

描述微表面之间的 Masking 和 Shadowing。一些面朝观察者的微表面可能被其他微表面挡住，或收不到光。

本文采用可分离 Smith 近似 $G=G_1(N\cdot V)G_1(N\cdot L)$ ，其中

G_1(\mu)=\frac{2\mu}{\mu+\sqrt{\alpha^2+(1-\alpha^2)\mu^2}}.

它分别估计观察方向与入射方向可见的微面比例。高度相关 Smith 会联合考虑两种遮蔽，不能只替换函数名而沿用同一份积分表。分母中的 $4(N\cdot L)(N\cdot V)$ 来自微面反射方向到宏观表面方向的测度和投影换算；它不是控制高光强度的经验项。

代码中的组合顺序

以下 HLSL 机制函数展开 GGX、可分离 Smith 与 Schlick。N、V、L 是同一空间的单位向量，后两者从表面指向观察者和光源。颜色已在线性空间，metallic、roughness、F0 和 baseColor 均在 $[0,1]$ 。函数返回含入射余弦的响应，调用端乘光源贡献、可见性和距离衰减，不能再乘一次 NoL。

hlsl

static const float PI = 3.14159265359;

float DistributionGGX(float NoH, float alpha)
{
    float a2 = alpha * alpha;
    float denominator = NoH * NoH * (a2 - 1.0) + 1.0;
    return a2 / (PI * denominator * denominator);
}

float SmithG1(float cosine, float alpha)
{
    float a2 = alpha * alpha;
    return 2.0 * cosine /
        (cosine + sqrt(a2 + (1.0 - a2) * cosine * cosine));
}

float3 FresnelSchlick(float VoH, float3 F0)
{
    float f = pow(1.0 - VoH, 5.0);
    return F0 + (1.0 - F0) * f;
}

float3 EvaluateDirectResponse(
    float3 N, float3 V, float3 L,
    float3 baseColor, float metallic, float roughness, float3 F0)
{
    float NoL = dot(N, L);
    float NoV = dot(N, V);
    if (NoL <= 0.0 || NoV <= 0.0) return 0.0;
    float3 H = normalize(V + L);
    float NoH = saturate(dot(N, H));
    float VoH = saturate(dot(V, H));
    float alpha = max(roughness * roughness, 0.002);
    float D = DistributionGGX(NoH, alpha);
    float G = SmithG1(NoV, alpha) * SmithG1(NoL, alpha);
    float3 F = FresnelSchlick(VoH, F0);
    // 合并 BRDF 与 NoL，避免先除再乘 NoL。
    float3 specularResponse = D * G * F / (4.0 * NoV);
    float3 diffuseWeight = (1.0 - F) * (1.0 - metallic);
    return diffuseWeight * baseColor * NoL / PI + specularResponse;
}

两个方向都在上半球时，V+L 非零。alpha 下限把理想镜面替换为有限宽度波瓣，属于明确的数值近似；材质端与 IBL 烘焙端要采用相同映射。极小值计算需使用足够精度，不能直接假定半精度稳定。

这里的 $(1-F)$ 是简化的漫反射衰减，不能凭这个逐方向权重断言整个组合严格守恒；半球能量与材料参数的关系见 PBR材质。

以N=V=L=(0,0,1)、roughness=1、metallic=1、F0=0.04作为单方向检查。H=N，alpha=1，D=1/π，两个G1均为1，F=0.04，含NoL的镜面响应为0.04/(4π)≈0.0031831。metallic=1使漫反射为零。把光转到背面，入口应直接返回零。

这个方向点值不是材料总反射率；白炉积分必须遍历整个半球。正面点值正确而白炉偏差很大时，优先检查角度变化、测度和样本权重，而不是把单点响应强行缩放到1。

参数与能量

粗糙度映射

不同 BRDF 对 Roughness 的映射不同。引擎还可能使用 $\alpha=roughness^2$ 让美术控制更线性。

跨引擎复制 Roughness 时要核对：

输入是 Roughness 还是 Smoothness；
是否平方；
NDF 和 Geometry Term；
IBL 预过滤的 Roughness 到 Mip 映射；
纹理是否经过正确颜色空间解码。

多次散射

单次微表面模型会把被 Masking/Shadowing 挡住的能量直接丢掉，粗糙材质可能显得过暗。多次散射补偿会估计这些能量在微表面间再次反射后的贡献。

实时引擎常用近似或查表，不会逐次追踪所有微表面反弹。

验证方法

使用灰球、金属球和不同 Roughness 阶梯图。
固定曝光和环境，避免自动曝光掩盖能量问题。
检查 $N\cdot L$ 、 $N\cdot V$ 、D、F、G 的单独可视化。
对比直接光和 IBL 中的 Roughness 响应是否连续。
白炉测试（White Furnace Test）将所有入射方向设为单位辐射亮度，数值积分 $E(V)=\int f_r(L,V)(N\cdot L)d\omega_L$ 。对纯反射、无吸收且包含多次散射的模型， $E$ 应为 1；单次微表面模型允许 $E<1$ ，不能把这种模型误差误判为程序错误。

本页的数值检查验证 NDF 投影面积归一化、交换光线与视线的互易性、背面返回零以及白炉能量。对于 $\alpha=1$ 、 $N=V$ 、 $F_0=1$ ，本文模型给出 $E=\int_0^1\mu/(1+\mu)d\mu=1-\ln2\approx0.30685$ ；这个解析值能识别余弦或分母被重复使用的问题。运行 python -B 知识库/examples/revision/test_lighting.py。

参考资料

Bruce Walter et al., Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces.
Brian Karis, Real Shading in Unreal Engine 4.
Google Filament：Specular BRDF、Energy loss in specular reflectance，核对 GGX、Smith、Schlick 与白炉定义。
LearnOpenGL, src/6.pbr/1.1.lighting and 1.2.lighting_textured.